.RU

Методические указания Красчетно-графической работЕ по сопротивлению материалов Для студентов специальностей 1-74 06 01 техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства




МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА

И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ




ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И КАДРОВ




БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ




Кафедра гидравлики и строительной механики


Расчет статически

неопределимых систем

при изгибе


Методические указания

К расчетно-графической работЕ

по сопротивлению материалов


^ Для студентов специальностей 1-74 06 01 – техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства,

1-74 06 04 – техническое обеспечение мелиоративных и водохозяйственных работ


Горки 2003


Одобрено методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства 22.11.2003.


Составили В.И. ЖЕЛЯЗКО, В.В. ДЯТЛОВ, Л.И. МЕЛЬНИКОВА, Е. М. БЕЛЯВСКАЯ.


Содержание


Введение................................................….....……………..…………………

3

1. Теоретические основы работы……........................……...............…...........

5

2. Примеры решения типовых задач ………....………………..............….......

10

Приложения…………………………………..…......…..................................

30

Варианты исходных данных …………..………….………..........…..............

37

Литература........…………………….........................................…...................

39



УДК 539.32:669.14
^ Расчет статически неопределимых систем при изгибе: Методические указания / Белорусская государственная сельскохозяйственная академия; Сост. В. И. Ж е л я з к о, В. В. Д я т л о в, Л. И. М е л ь н и -к о в а, Е. М. Б е л я в с к а я. Горки, 2003. 40 с.


Изложены исходные данные и методические указания по расчету статически неопределимых балочных и рамных систем на прочность и жесткость при изгибе. Приведены примеры решения типовых задач с подробными пояснениями.

Для студентов специальностей 1-74 06 01 – техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства, 1-74 06 04 – техническое обеспечение мелиоративных и водохозяйственных работ.

Таблиц 3. Рисунков 10. Библиогр. 10.

Рецензенты М. А. ЖАРСКИЙ, В. А. ДРЕМУК.


 Составление. В.И. Желязко, В.В. Дятлов, Л.И. Мельникова, Е. М. Белявская, 2003

 Белорусская государственная сельскохозяйственная академия, 2003


Введение

В инженерной практике встречаются конструкции, в элементах которых общее количество неизвестных усилий превышает число независимых уравнений статики, которые можно для них составить. Такие конструкции называются статически неопределимыми. К ним относятся коленчатые валы многоцилиндровых двигателей, передаточный и главный валы коробок передач автомобилей, каркасы их кузовов, валы газораспределительных механизмов двигателей и т.д.

Для прочностного расчета статически неопределимых систем (конструкций), кроме уравнений статики, требуется составлять дополнительные уравнения, называемые уравнениями перемещений. Статически неопределимые системы позволяют за счет более рационального распределения усилий по элементам конструкции достигать значительной экономии материала; дополнительные связи увеличивают жесткость конструкции и предохраняют ее при нарушении любой связи от разрушения.

Расчетно-графическая работа «Расчет статически неопределимых систем при изгибе» имеет цель ознакомить студентов с применением общего метода расчета статически неопределимых систем – метода сил. При выполнении работы студенты практически познакомятся с выбором основной системы, приемами вычисления перемещений, построением эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил.

расчетно-графическая работа содержит решение двух задач. Первая включает расчет статически неопределимой балки, представляющей собой расчетную схему приводного трубчатого вала машины. В методических указаниях представлено два варианта первой задачи:

вариант а – один раз статически неопределимая балка – будет предлагаться для расчета студентам специальности «Техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства»;

вариант В – неразрезная два раза статически неопределимая балка – для студентов специальности «Техническое обеспечение мелиоративных и водохозяйственных работ».

Вторая задача включает расчет статически неопределимой плоской рамы. Исходные данные для выполнения расчетно-графической работы необходимо выбрать из таблиц 1, 2 и 3 задания, а расчетные схемы – из приложений 1, 2 и 3 в соответствии с шифром, который выдает преподаватель.

^ Оформление работы. Расчетно-графическую работу следует выполнять на листах писчей бумаги, чернилами, четким почерком со следующими полями: левое – 3 см, правое – 1см, верхнее – 2см и нижнее – 2 см.

Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие с числовыми данными, составить аккуратно расчетную схему и указать на ней в числах все величины, необходимые для расчета, и их единицы измерения.

Решение каждой задачи следует начинать с новой страницы, и оно должно сопровождаться краткими, последовательными, без сокращения слов пояснениями и чертежами, на которых все входящие в расчет величины должны быть указаны в числах.

Текстовая и графическая части выполняются на одной стороне листа, листы брошюруются, и на титульном листе указываются наименование учебного заведения, кафедры, номер и название работы, факультет, курс, группа, фамилия студента и шифр. В нижней части титульного листа указывается местоположение учебного заведения и год выполнения работы.

Вычисления желательно выполнять в единицах СИ с обычной в технических расчетах точностью (до трех значащих цифр после запятой). Эпюры необходимо вычерчивать под расчетной схемой на одной странице с указанием единиц измерения и всех характерных ординат.

В конце выполненной работы следует поставить дату и личную подпись.

При выполнении работы рекомендуется использовать следующие буквенные обозначения и единицы измерения:

М – изгибающий момент, Н·м, кН·м, Н·см, кН·см,

F – внешняя сила (нагрузка), Н, кН;

q – распределенная нагрузка, Н/м, кН/м, Н/см, кН/см;

R – реакции связей – вертикальные (опор, заделки), Н, кН;

Н – реакции связей – горизонтальные (опор, заделки), Н, кН;

N – продольное усилие, Н, кН;

Q – поперечная сила, Н, кН;

А – площадь поперечного сечения стержня, см2, м2;

ℓ, h – линейные размеры стержня, см, м;

Wx – момент сопротивления сечения изгибу, см3, м3;

 – нормальное напряжение в поперечном сечении, кН/см2, мпа;

Е – модуль упругости материала, кН/см2, кН/м2, Па, мпа,

1кН/см2 = 10 мпа.

k – коэффициент запаса прочности.

^ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ


Расчет статически неопределимых систем можно выполнять различными методами. Наиболее общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых систем является метод сил.

Согласно этому методу расчет исходной статически неопределимой системы может быть заменен расчетом некоторой основной системы, которая является статически определимой и геометрически неизменяемой. Она получается из исходной путем отбрасывания дополнительных связей, действие которых заменяется силами и моментами. Их величины подбираются так, чтобы перемещения в принятой системе оставались такими же, что и при наличии дополнительных связей.

^ Степень статической неопределимости. Всякое ограничение, накладываемое на перемещение стержня, называется связью. Связи в стержневых системах делятся на внешние и внутренние. Внешние связи накладываются на систему опорами. Внутренние ограничивают перемещения элементов системы относительно друг друга, т.е. накладываются между элементами системы.

Количество связей, при котором система является статически определимой и кинематически неизменяемой, называется необходимым числом связей. Связи сверх необходимых называются лишними. Они могут быть удалены без нарушения кинематической неизменяемости системы. Таким образом, степень статической неопределимости равняется числу дополнительных связей и определяет количество недостающих уравнений, необходимых для решения статически неопределимой системы.

Число лишних связей и соответственно лишних неизвестных Л определяется по формуле

Л = Со + Св – 3Д, (1)

где Со – число внешних опорных связей;

Св – число внутренних связей;

Д – число дисков (неизменяемых компонентов, стержней), образующих систему.

При подсчете числа опорных связей (Со) необходимо отметить, что: 1) шарнирно-подвижная опора имеет одну связь; 2) шарнирно-неподвижная опора имеет две связи; 3) жесткая заделка имеет три связи.

При определении числа внутренних связей (Св) следует учитывать, что: 1) шарнирное соединение двух стержней (дисков) эквивалентно двум связям; шарнирное соединение (при общем шарнире) трех стержней эквивалентно четырем связям; шарнирное соединение четырех стержней – шести связям и т. д. (рис. 1); 2) жесткое соединение двух стержней (дисков) эквивалентно трем связям; жесткое соединение в общий узел трех стержней эквивалентно шести связям; жесткое соединение четырех стержней – девяти связям и т. д. (рис. 2).



Рис. 1. Шарнирное соединение стержней.




Рис. 2. Жесткое соединение стержней.


Возможны три качественно различных варианта:

1. Л < 0 – система кинематически изменяема, обладает подвижностью; такие системы не могут применяться в качестве инженерных конструкций или сооружений;

2. Л = 0 – система кинематически неизменяема, обладает только необходимыми связями, является статически определимой;

3. Л > 0 – система статически неопределима, имеет лишние (дополнительные) связи.

^ Выбор основной системы. Основная система (ОС) получается путем удаления из заданной статически неопределимой лишних связей. При этом необходимо следить за тем, чтобы ОС как в целом, так и в отдельных частях оставалась геометрически неизменяемой.

Следует обратить внимание на то, что исходной статически неопределимой системе может соответствовать несколько вариантов ОС. При построении ОС вводятся: 1) силы вместо ограничений на линейные перемещения; 2) моменты вместо ограничений на угловые перемещения.

Наиболее рациональной считается такая ОС, которая в наибольшей степени упрощает расчет. Выбирая ОС, желательно выполнить приведенные ниже условия.

1. ОС должна быть возможно более простой и удобной для расчета.

2. Желательно, чтобы наибольшее количество побочных коэффициентов уравнений метода сил обращалось в нуль.

3. Протяженность единичных и грузовой эпюр моментов должна быть наименьшей.

4. Желательно, чтобы возможно большее число эпюр М не имело ординат на одних и тех же участках, т. е. чтобы эпюры взаимно не перекрывались.

5. Желательно, чтобы ординаты одной эпюры, расположенные против центра тяжести другой эпюры, равнялись нулю.

6. Для симметричной заданной системы ОС можно принять, разрезав заданную по оси симметрии.

После выбора ОС к ней прикладываются внешние нагрузки и неизвестные силы Х1, Х2,……Хn, заменяющие действие отброшенных связей. Такая ОС называется эквивалентной.

Силы, заменяющие внутренние связи, являются взаимными. Поэтому в сечениях, где конструкция разрезана или вводится шарнир, прикладываются к обеим частям системы равные и противоположно направленные силы и моменты.

Следует отметить, что в качестве ОС для расчета многопролетных неразрезных балок целесообразнее всего принять ряд статически определимых двухопорных балок, получаемых после расстановки шарниров на всех промежуточных опорах заданной балки. При такой ОС лишними неизвестными будут парные моменты в опорных сечениях неразрезной балки, заменяющие отброшенные связи между соседними пролетами. Опорные моменты определяются из уравнений перемещений, составленных таким образом, чтобы изогнутая ось неразрезной балки представляла собой плавную кривую (взаимный угол поворота смежных опорных сечений однопролетных балок эквивалентной системы равен нулю).

^ Канонические уравнения метода сил. Все неизвестные реакции при раскрытии статической неопределимости (силы и моменты) обозначаются через хi, где i – номер неизвестной. Очевидно, что наибольшее значение i равно к – степени статической неопределимости системы.

Далее необходимо использовать условие эквивалентности, т.е. одинаковой работы заданной и основной систем. Так как в заданной системе есть связи, которые отсутствуют в ОС, то условием эквивалентности будет требование равенства нулю перемещений в ОС по направлению неизвестных хi. Это условие реализуется при составлении следующих канонических уравнений:


(2)


Число этих уравнений равно степени статической неопределимости системы, т.е. числу неизвестных хi. Коэффициенты в уравнениях с одинаковыми индексами типа  ii называют главными. Они всегда положительны. Коэффициенты с разными индексами типа ki – побочные. Согласно теореме о взаимности перемещений, эти коэффициенты попарно равны, т.е. ki =  ik. Побочные коэффициенты могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Свободные члены кF в уравнениях также могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Коэффициенты системы канонических уравнений (2) имеют смысл перемещений. Например, ki – есть перемещение по направлению действия силы хк от силы xi, а кF – перемещение по направлению действия силы хк от внешней нагрузки F. Эти перемещения можно определить, используя интегралы Мора, либо использовать способ перемножения эпюр по правилу Верещагина.

Для систем постоянной жесткости формулы Мора, позволяющие находить линейные и угловые перемещения, имеют вид

(3)


где δik – перемещения по заданному направлению от действия единичных нагрузок;

ΔiF – перемещения по заданному направлению при действии внешних нагрузок F;

изгибающие моменты от единичных нагрузок, приложенных в сечениях, где определяются перемещения;

MF – изгибающий момент от действия внешних нагрузок в сечениях i-го участка системы;

EI – жесткость участка.

Суммирование распространяется на все участки загружения стержней системы, а интегрирование производится в пределах этих участков.

В соответствии с правилом Верещагина

(4)


т. е. интеграл перемещений равен произведению площади одной эпюры на ординату другой, измеренную под центром тяжести первой.

Таким образом, для вычисления коэффициентов канонических уравнений необходимо для основной системы построить единичные эпюры изгибающих моментов при единичных значениях неизвестных Хк=1 и грузовую эпюру МF от внешней нагрузки. Ординаты эпюр откладываются со стороны сжатого волокна. Далее путем перемножения соответствующих эпюр находят единичные δik и грузовые ΔiF коэффициенты канонических уравнений. Индексы указывают, какие эпюры должны быть перемножены.

Произведение эпюр положительно, если ординаты обеих эпюр отложены с одной стороны от базовой линии, и отрицательно, если с разных сторон. В случае, когда одна из эпюр криволинейная, обязательно берется площадь (ω) криволинейной эпюры, а ордината (y) измеряется на прямолинейной. Если одна из эпюр имеет перелом, то она рассматривается как криволинейная. При второй прямолинейной эпюре эпюра, ограниченная ломаной линией, разбивается на ряд прямолинейных участков и берется сумма произведений площадей участков на соответствующие им ординаты прямолинейной эпюры.

Если обе эпюры ограничены ломаными линиями, то они разбиваются на участки так, чтобы на каждом из них одна из эпюр была прямолинейной и не имела переломов.

После вычисления всех свободных членов и коэффициентов при неизвестных силах решается система канонических уравнений и определяются неизвестные силы Х1, Х2, … Хn.

Для проверки правильности найденных коэффициентов и свободных членов системы уравнений (2) используется: 1) построчная проверка; 2) суммарная проверка; 3) проверка свободных членов.

Для выполнения этих проверок необходимо построить суммарную единичную эпюру

Построчная состоит в проверке того, что произведение суммарной единичной эпюры на i-ю единичную эпюру должно равняться сумме коэффициентов i-го канонического уравнения.

суммарная проверка состоит в том, что произведение суммарной единичной эпюры саму на себя равно сумме коэффициентов при всех неизвестных силах.

Проверка свободных членов состоит в том, что произведение суммарной единичной эпюры на грузовую должно быть равно сумме всех свободных членов.

Все найденные силы и заданные нагрузки прикладываются с учетом знаков к ОС, и методом сечений, как для любой статически определимой системы, строятся суммарные эпюры внутренних силовых факторов N, Q, M, по которым затем рассчитывается конструкция на прочность.

Суммарную эпюру изгибающих моментов можно построить путем алгебраического сложения грузовой эпюры и исправленных единичных эпюр, т. е. умноженных на величину соответствующих сил Хк с учетом знаков:

Мрасч= (5)


где MF – изгибающий момент в сечениях основной системы от внешней нагрузки;

– изгибающий момент в тех же сечениях основной системы от сил Х1, Х2, … Хn.

После построения эпюр выполняются общие проверки: статическая и кинематическая. Статическая проверка состоит в том, что любая вырезанная из исходной системы часть должна находиться в равновесии под действием внешних сил и силовых факторов в сечениях.

Для выполнения кинематической проверки необходимо выбрать ОС, отличную от использованной при расчете, построить одну из единичных эпюр и перемножить эту эпюру на расчетную. В случае правильности построения эпюр это произведение должно быть равно нулю.

Таким образом, рекомендуется приведенный ниже порядок расчета статически неопределимых систем при изгибе.

1. Установить степень статической неопределимости системы (количество лишних неизвестных).

2. Рассмотреть возможные варианты ОС и выбрать один их них для дальнейшего расчета.

3. Составить систему канонических уравнений метода сил.

4. Построить для выбранной ОС единичные и грузовую эпюры изгибающих моментов.

5. Вычислить по способу Верещагина коэффициенты канонических уравнений.

6. Решая систему канонических уравнений, вычислить величины лишних неизвестных х1, х2, ... хn.

7. Определить, если необходимо, остальные неизвестные реакции или усилия с помощью уравнений статики.

8. Построить эпюры внутренних силовых факторов N, Q, M для заданной системы.

9. Выполнить проверки правильности раскрытия статической неопределимости.


2. Примеры решения типовых задач


Задача 1. На приводной трубчатый вал машины, выполненный из стали Ст12ХН3А, действуют в одной плоскости сосредоточенные силы F1 = 800 Н; F2 = 500 Н; F3 = 1000 Н. Величина крутящего момента мала, и им можно пренебречь. Вал имеет три подшипника. Расчетная схема вала представлена на рис. 3,а.

Размеры: а = 0,1 м; в = 0,08м; = 0,3м; отношение внутреннего диаметра к наружному ; предел прочности σв = 1000 Мпа; коэффициент запаса прочности k = 2,5.

Требуется:

1. Раскрыть статическую неопределимость методом сил;

2. Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

3. Провести деформационную проверку;

4. Подобрать диаметр кольцевого сечения вала при заданном отношении диаметров , пределе прочности σв, коэффициенте запаса прочности k = 2,5.

Решение

Раскрытие статической неопределимости системы произведем методом сил. Устанавливаем степень статической неопределимости:

S = R – Y.

Количество неизвестных для заданной схемы R = 4, а количество независимых уравнений статики для плоской системы Y = 3. Таким образом, степень статической неопределимости

S = 4 – 3 = 1.

Выберем основную систему. Для этого в заданной системе отбросим опору С и заменим реакцию этой опоры неизвестной силой Х1 (рис. 3,б).

Каноническое уравнение для данной системы будет иметь вид

δ11·Х1 + Δ1F = 0.

Определим коэффициенты δ11 и Δ1F. Для этого построим эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки F, а также от силы Х1 = 1. Для построения эпюры изгибающих моментов от внешней нагрузки F вычертим расчетную схему и определим опорные реакции RА´ и RВ´ (рис. 3,в):


ΣМА = 0; – F1·0,1 + RВ´·0,3 – F2·0,42 – F3·0,5 = 0;










Рис. 3. Расчетные схемы и эпюры к задаче 1.

ΣМВ = 0; – RА´·0,3 + F1·0,2 – F2·0,12 – F3·0,2 = 0;







Проверим правильность расчетов по определению реакций RА´ и RВ´ с помощью независимого уравнения статики:

ΣFУ = 0; – F1 – F2 – F3 + RА´ + RВ´ = 0;


– 800 – 500 – 1000 + 2633,3 – 333,3 = 0.

Реакции определены правильно.

Определяем величину изгибающих моментов в характерных сечениях. Разбиваем балку на участки. В данном случае их пять.

1 участок 0 ≤ Z1 ≤ 0,1 м.


МI-I = – RА´·Z1; при Z1 = 0 МI-I = 0;

при Z1 = 0,1 м МI-I = – 333,3·0,1 = – 33,3 Н·м.


2 участок 0 ≤ Z2 ≤ 0,2 м.


МII-II = – RА´·(Z2+0,1) – F1·Z2; при Z2 = 0 МII-II = – RА´·0,1 = – 33,3 Н·м; при Z2=0,2 м МII-II= – RА´·0,3 – F1·0,2=–333,3·0,3–800·0,2= – 260 Н·м.


3 участок 0 ≤ Z3 ≤ 0,12 м.


МIII-III = – RА´·(Z3 + 0,3) – F1·(Z3 + 0,2) + RВ´·Z3;

при Z3 = 0 МIII-III = – 333,3·0,3 – 800·0,2 = – 260 Н·м;

при Z3=0,12 м МIII-III = –333,3·0,42 – 800·0,32+2633,3·0,12= – 80 Н·м.


4 участок 0 ≤ Z4 ≤ 0,08 м.


МIV-IV = – RА´·(Z4 + 0,42) – F1·(Z4 + 0,32) + RВ´·(Z4 + 0,12) – F2·Z4;

при Z4 = 0 МIV-IV = – RА´·0,42 – F1·0,32 + RВ´·0,12 =

= – 333,3·0,42 – 800·0,32 + 2633,3·0,12 = – 80 Н·м;

при Z4 = 0,08 м МIV-IV = – RА´·0,5 – F1·0,4 + RВ´·0,2 – F2·0,08 =

= – 333,3·0,5 – 800·0,4 + 2633,3·0,2 – 500·0,08 = 0.


5 участок 0 ≤ Z5 ≤ 0,1 м.


МV-V = 0.

По полученным значениям ординат строим эпюру изгибающих моментов от внешней нагрузки (рис. 3,г).

Далее построим эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузки Х1 = 1. Вычертим расчетную схему (рис. 3,д). Определим опорные реакции от единичной силы Х1 = 1.


ΣМА = 0; – RВ´´·0,3 + Х1·0,6 = 0;




ΣМВ = 0; – RА´´·0,3 + Х1·0,3 = 0;



Проверка

ΣFУ =0; RА´´ – RВ´´ + Х1 = 0;

1 – 2 + 1 = 0.

Реакции получены верно.

Определяем величину изгибающих моментов в характерных сечениях. Балка имеет два участка.

1 участок 0 ≤ Z1 ≤ 0,3 м.


МI-I = RА´´·Z1; при Z1 = 0 МI-I = 0;

при Z1 = 0,3 м МI-I = 1·0,3 = 0,3 м.


2 участок 0 ≤ Z2 ≤ 0,3 м.


МII-II = RА´´·(Z2 + 0,3) – RВ´´·Z2;

при Z2 = 0 МII-II = RА´´·0,3 = 0,3 м;

при Z2 = 0,3 м МII-II = RА´´·0,6 – RВ´´·0,3 = 1·0,6 – 2·0,3 = 0.

По полученным значениям строим эпюры изгибающих моментов от единичной силы Х1 = 1 (рис. 3,е).

Затем приступаем к определению коэффициента δ11 и свободного члена Δ1F, входящих в каноническое уравнение.

Для определения коэффициента δ11 воспользуемся правилом перемножения эпюр по способу Верещагина. Перемножим эпюру изгибающих моментов от единичной силы саму на себя:



Для определения свободного члена Δ1F необходимо перемножить грузовую эпюру на эпюру от единичной силы. Так как грузовая эпюра отрицательная (рис. 3,г), а эпюра от единичной силы положительная (рис. 3,е), то свободный член Δ1F будет отрицательным. При вычислении Δ1F берем площадь участка грузовой эпюры изгибающих моментов и умножаем на ординату под центром тяжести этого участка, взятую с единичной эпюры.

Так как грузовая эпюра ограничена ломаной линией, то для упрощения расчетов разобьем ее на простые фигуры. В данном случае на треугольники (рис. 3,г):



Нм; Нм;

Нм; Нм;

Нм; Нм.

Для определения ординат у1, у2, у3, у4, у5, у6, которые снимаются с эпюры изгибающих моментов от единичной силы под центрами тяжести соответствующих треугольников грузовой эпюры, воспользуемся свойствами подобия фигур (треугольников). Из подобия треугольников получим, что

; ; ; ; ; .




Подставляем значения δ11 и Δ1F в каноническое уравнение и решаем его относительно Х1:



строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной схемы. Определим реакции опор RА и RВ:


ΣМА = 0; – F1·0,1 + RВ·0,3 – F2·0,42 – F3·0,5 + Х1·0,6 = 0;




ΣМВ = 0; –RА·0,3 + F1·0,2 – F2·0,12 – F3·0,2 + Х1·0,3 = 0;




Проверка:

ΣFУ = 0; RА + RВ + Х1 – F1 – F2 – F3 =


= 351,97 + 1262,73 + 685,3 – 800 – 500 – 1000 = 0.

Реакции определены правильно.

Определяем величину поперечной силы в характерных сечениях. При сосредоточенных нагрузках поперечные силы на всех участках будут постоянными:

Q I-I = RА = 351,97 Н;

Q II-II = RА – F1 = 351,97 – 800 = –448,03 Н;

Q III-III = RА – F1 + RВ = –448,03 + 1262,73 = 814,7 Н;

Q IV-IV = RА – F1 + RВ – F2 = 814,7 – 500 = 314,7 Н;

Q V-V = –X1 = –685,3 Н.

По полученным на участках значениям Q строим эпюру поперечных сил (рис. 3,ж).

Так как балка нагружена только сосредоточенными силами, эпюра изгибающих моментов будет состоять из прямолинейных участков. Поэтому определяем величину изгибающих моментов в характерных сечениях:

М1 = 0;

М2 = RА·0,1= 351,97·0,1 = 35,197 Н·м;

М3 = RА·0,3 – F1·0,2 = 351,97·0,3 – 800·0,2 = – 54,409 Н·м;

М4 = Х1·0,18 – F3·0,08 = 685,3·0,18 – 1000·0,08 = 43,354 Н·м;

М5 = Х1·0,1 = 685,3·0,1 = 68,53 Н·м;

М6 = 0.

По полученным значениям строим эпюру изгибающих моментов (рис. 3,з).

Выполним деформационную проверку. Для этого определим вертикальное перемещение точки С. Если это перемещение равно нулю, то статическая неопределимость раскрыта правильно. Перемножим эпюры изгибающих моментов – расчетную МF и от единичной силы (рис. 4):

ω1 = 1,759 Н·м;




у1 = 1/15;

ω2 = 1,408 Н·м;




у2 = 19/150;

ω3 = 3,264 Н·м;




у3 = 13/50;

ω4 = 1,904 Н·м;




у4 = 21/100;

ω5 = 1,084 Н·м;




у5 = 59/300;

ω6 = 2,711 Н·м;




у6 = 19/150;

ω7 = 10,084 Н·м;




у7 = 23/150;

ω8 = 3,426 Н·м;




у8 = 1/15;

;





Рис. 4. Эпюры изгибающих моментов:

а) от единичной силы и б) расчетная.


Деформационная проверка показала, что статическая неопределимость раскрыта верно.

Из условия прочности подбираем диаметр кольцевого сечения вала:

;

;


;


Для кольцевого сечения имеем

;





dН =1,37·10-2 м;


dВ =1,37·10-2 · 0,75 = 1,03·10-2 м.


Согласно ГОСТ 6636–69 принимаем dН =14 мм; dВ =11 мм.


Задача 2. Для заданной расчетной схемы (рис. 5,а) статически неопределимой неразрезной балки требуется построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Дано: F = 10 кН; q = 24 кН; ℓ = 2 м.


Решение


Пронумеруем опоры заданной неразрезной балки.

Определяем степень статической неопределимости заданной балки по выражению

S = R – Y = 5 –3 = 2.

Балка два раза статически неопределима.

Выбираем основную систему (ОС). Для неразрезной балки в качестве ОС целесообразно принять три статически определимые двухопорные балки, получаемые из заданной путем постановки шарниров на двух промежуточных опорах 1 и 2 (рис.5,б). При такой ос лишними неизвестными будут парные моменты в опорных сечениях неразрезной балки, заменяющие отброшенные связи между соседними пролетами.

Неизвестные опорные моменты определяем из следующей системы канонических уравнений:

,

где Х1 = М1; х2 = М2.

Как правило, направление неизвестных моментов х1 и х2 при выборе ос принимается положительным, далее при их вычислении знаки при х1 и х2 покажут правильность выбранного направления.

Эпюры моментов от внешних нагрузок, действующих на однопролетные балки, и от единичных моментов х1 = 1 и х2 = 1 приведены на рис. 5,в,г,д.

Коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений находим по правилу Верещагина:





;



;




Подставляя полученные значения в канонические уравнения, получим

,


откуда кНм; кНм.


Расчетную эпюру изгибающих моментов можно построить методом сложения эпюр, используя выражение




Рис. 5. Расчетная схема неразрезной балки, основная система, грузовая,

единичные, исправленные и окончательная эпюра

изгибающих моментов.

Мрасч = Х1 + Х2 + МF = М1 + М2 + МF,


где МF – эпюра моментов от внешних нагрузок, действующих на однопролетные балки;

, – эпюры от единичных моментов.

Расчетная эпюра Мрасч приведена на рис.5,з.

Зная лишние неизвестные моменты, методом сложения можем определить все реакции балки (рис. 6) и, как обычно, методом сечений определить по участкам внутренние усилия и построить окончательные эпюры Q и М:





Рис. 6. Расчетные схемы к определению реакций методом сложения.

кН;

кН;

кН;




Делаем проверку правильности определения реакций балки, при этом должно выполняться условие Fу = 0;

Реакции определены верно.

Можно также рассматривать балки как однопролетные статически определимые и для них в отдельности построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 7,а,б,в). Это выполнить легче, чем строить эпюры для целой многопролетной балки. Затем, соединяя однопролетные балки, а также эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для них, получим общие эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для заданной статически неопределимой неразрезной балки (рис. 7,г,д).


Задача 3. Для рамы (рис. 8,а), нагруженной в своей плоскости распределенной нагрузкой q = 1кН/м и сосредоточенной силой F = 3кН, с линейными размерами h = 6 м; = 6 м, требуется построить расчетные эпюры N, Q, М.


Решение.


Решение задачи выполним методом сил. Установим степень статической неопределимости рамы. На плоскую систему наложено пять связей, для нее можно составить три уравнения статики:


S = R – Y = 5 –3 = 2.

Рама дважды статически неопределима.




Рис. 7. Расчетные схемы для построения эпюр Q и M методом сложения.




Рис. 8. схема рамы, основная система, грузовая,

единичные и расчетные эпюры N, Q, М.


Выберем основную систему, заменив две лишних связи неизвестными усилиями Х1 и Х2.

Основная система приведена на рис. 8,б. Составим систему канонических уравнений:

.


Система включает два уравнения, каждое из которых означает равенство нулю перемещения по направлению действия неизвестной силы. Коэффициенты и свободные члены канонических уравнений определим по способу Верещагина. Для этого построим эпюры изгибающих моментов от заданной внешней нагрузки и от единичных усилий Х1 = 1; Х2 = 1.

Для построения эпюр используем метод сечений. В данном примере процесс построения эпюр упрощен, так как нет необходимости определять опорные реакции. рассматриваем сечения, начиная со свободного конца рамы (см. рис. 8,б).

Эпюра изгибающих моментов от внешней нагрузки приведена на рис. 8,в; от единичного усилия Х1 = 1 – на рис. 8,г; от Х2 = 1 – на рис.8,д. (Студентам необходимо составить выражения моментов в характерных сечениях при построении каждой из эпюр).

Для определения коэффициента 11 перемножим эпюру саму на себя:

11 = (×) = .

Коэффициент 22 определим, перемножив эпюру саму на себя:


22 = (×) = .

Коэффициент 12 = 21 определим, перемножив эпюры ×:


12 = 21 = – .

С
вободный член 1F определяем перемножением эпюр МF и :

Свободный член 2F определим, перемножая эпюры МF и :


2F = (MF ) =

При вычислении 11 и 22 площади и ординаты берем на одних и тех же эпюрах или . Трапециевидную эпюру на правой стойке рамы разбиваем на два треугольника, каждый из которых при вычислении 11 умножаем на соответствующую ординату трапеции, т.е. на 4 или 5. При вычислении 12 взята вся площадь трапеции 4,5×3 из эпюры и умножена на ординату прямоугольной эпюры , равную 6.

При вычислении свободных членов уравнений взята площадь эпюры МF от заданной нагрузки, и отдельные ее участки умножены на ординаты эпюр и , расположенные против центра тяжести данного участка эпюры.

Подставляем значения коэффициентов и свободных членов в систему уравнений и получим

.


Преобразуем систему уравнений


.


Решая систему, получим Х1 = – 2,67 кН; Х2 = 1,11 кН.

Расчетную эпюру изгибающих моментов строим методом сложения, используя выражение

Мрасч = Х1 + Х2 + МF = М1 + М2 + МF.


Расчетная эпюра Мрасч приведена на рис.8,е.

Для построения эпюры Q используем дифференциальную зависимость между изгибающим моментом и поперечной силой



и формулой поперечной силы в нагруженном пролете


Q = Q0 +

Стержень АС. Нагружен равномерно распределенной нагрузкой

q = 1 кН/м. Эпюра Q – линейная.

Qac = кН.


Qca = – 3 – 0,33 = – 3,33 кН.


^ Стержень СD. На левой половине СD поперечная сила постоянна:

кН;

на правой

= кН.


^ Стержень ВD. На всей длине BD поперечная сила постоянна:


Qbd = кН.


Строим эпюру Q по полученным значениям. Эпюра приведена на рис. 8,ж.

Для построения эпюры продольных сил вырезаем узлы С и D и рассматриваем их равновесие.




N=1,1

Рис. 9. Анализ равновесия узла С.


X = 0; 3,33 + Ncd = 0; Ncd = – 3,33 кН.

У = 0; – 1,1 – Nca = 0; Nca = – 1,1 кН.



N=1,9

Рис. 10. Анализ равновесия узла D.


X = 0; – Ndc – 3,33 = 0; Ndc = – 3,33 кН.

У = 0; – 1,9 – Ndb = 0; Ndb = – 1,9 кН.


Эпюра продольных сил N приведена на рис. 8,з.

Выполним проверку расчетных эпюр. Построим суммарную единичную эпюру, используя выражение

+ = ..

Эта эпюра приведена на рис. 8,и.

Перемножив эту эпюру саму на себя по правилу Верещагина, должны получить сумму всех коэффициентов.








Произведение суммарной единичной эпюры на грузовую должно быть равно сумме свободных членов:




= EJ (1F + 2F) = 702 – 520 = 182.

Выполняем кинематическую проверку, перемножая суммарную единичную эпюру на расчетную Мрасч.


ЕJ (·MF) = .


Погрешность составляет


Приложения


П р и л о ж е н и е 1
Расчетные схемы к задаче 1



П р и л о ж е н и е 2


Расчетные схемы к задаче 2





П р о д о л ж е н и е п р и л о ж е н и я 2





П р о д о л ж е н и е п р и л о ж е н и я 2





П р и л о ж е н и е 3
Расчетные схемы к задаче 3


П р о д о л ж е н и е п р и л о ж е н и я З



П р о д о л ж е н и е п р и л о ж е н и я З

modelirovanie-i-prognozirovanie-dinamiki-regionalnoj-seti-uchrezhdenij-professionalnogo-obrazovaniya.html
modelirovanie-i-prognozirovanie-katastroficheskih-navodnenij-v-spb.html
modelirovanie-individualnogo-marshruta-samoobrazovaniya-pedagoga-v-oblasti-fizicheskoj-kulturi.html
modelirovanie-kak-metod-poznaniya.html
modelirovanie-magnitnogo-polya-nizkotemperaturnoj-plazmennoj-strui-gazodinamicheskoj-ustanovki.html
modelirovanie-nestacionarnih-rezhimov-raboti-akkumulyatornoj-batarei-elektromobilya.html
  • report.bystrickaya.ru/joan-halifax-the-human-encounter-with-death-stranica-10.html
  • predmet.bystrickaya.ru/reformi-petra-i-istoriya-rossii-ot-drevnejshih-vremen-do-nachala-xx-v-uchebnik-istorii-dlya-vuzov-pod-red-i-froyanova-oglavlenie.html
  • lecture.bystrickaya.ru/aa-fet-1-chas-rabochaya-programma-po-literature-5-9-klassi.html
  • lektsiya.bystrickaya.ru/programma-disciplini-sociolingvistika-dlya-napravleniya-45-06-01-yazikoznanie-i-literaturovedenie.html
  • lecture.bystrickaya.ru/ah-kakoj-bil-muzhchina-nu-nastoyashij-polkovnik-voinskie-zvaniya-prisvoenie-lishenie-snizhenie-vosstanovlenie.html
  • literatura.bystrickaya.ru/skazka-o-kotenke-gruzo.html
  • holiday.bystrickaya.ru/novosti-oao-rao-es-vostoka-novosti-oao-dek-6.html
  • testyi.bystrickaya.ru/b-f-porshnev.html
  • school.bystrickaya.ru/glava-11-zarubezhnie-rinki-cennih-bumag-ekzamenacionnie-voprosi-po-bazovomu-kvalifikacionnomu-ekzamenu-dlya-specialistov.html
  • shpargalka.bystrickaya.ru/uchebno-metodicheskij-kompleks-disciplini-dpp-f-01-teoriya-i-metodika-obucheniya-predmetu-fizicheskaya-kultura-irkutsk-2008.html
  • occupation.bystrickaya.ru/nominaciya-avtorskaya-uchebnaya-programma-kol-vo-ballov.html
  • ekzamen.bystrickaya.ru/rol-gosudarstva-v-rinochnoj-ekonomike.html
  • kolledzh.bystrickaya.ru/anketa-dlya-nominacij.html
  • shpora.bystrickaya.ru/zakonodatelnaya-baza-stranica-17.html
  • uchit.bystrickaya.ru/uchebnij-plan-mou-srednyaya-obsheobrazovatelnaya-shkola-9-g-orenburga-na-2008-2009-uchebnij-god-poyasnitelnaya-zapiska-stranica-6.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/literaturnie-pamyatniki-srednevekovoj-rusi-teste.html
  • upbringing.bystrickaya.ru/konspekt-uroka-aldegidi.html
  • klass.bystrickaya.ru/58-mir-obivatelya-v-satiricheskih-skazkah-me-saltikova-shedrina.html
  • doklad.bystrickaya.ru/vestiru-moskovskaya-pressa-regionalnaya-pressa.html
  • tests.bystrickaya.ru/kovalev-s-v-k56-sem-shagov-ot-propasti-nlp-terapiya-narkoticheskih-zavisimostej-stranica-4.html
  • laboratory.bystrickaya.ru/vozbuzhdenie-ugolovnogo-dela.html
  • tests.bystrickaya.ru/levzeya-leuzea-carthamoides-osnovnie-dejstviya-na-vnutrennie-organi-i-sistemi.html
  • essay.bystrickaya.ru/bilet-20-pravila-raboti-so-sterilnim-materialom-14-anafilakticheskij-shok-opredelenie-prichini-vozniknoveniya.html
  • abstract.bystrickaya.ru/13-zoni-ohrani-obekta-kulturnogo-naslediyalesnoj-institut-zakon-sankt-peterburga.html
  • school.bystrickaya.ru/denezhnij-rinok-i-ego-ravnovesie.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tekst-vzyat-s-psihologicheskogo-sajta-stranica-6.html
  • letter.bystrickaya.ru/nazvanie-otryadi.html
  • literatura.bystrickaya.ru/sistemi-obrazovaniya-orlovskoj-oblasti.html
  • knigi.bystrickaya.ru/soderzhanie-programmi-7-kvalifikacionnie-trebovaniya-k-vrachu-akusheru-ginekologu.html
  • shkola.bystrickaya.ru/razrabotka-programmi-fakultativnogo-kursa-po-teorii-veroyatnostej-v-kurse-matematiki-8-klassa.html
  • prepodavatel.bystrickaya.ru/tema-1-gosudarstvennoe-regulirovanie-ocenochnoj-deyatelnosti-uchebno-metodicheskij-kompleks-po-ciklu-disciplin-opd.html
  • predmet.bystrickaya.ru/sokrovisha-shlimana-predislovie.html
  • desk.bystrickaya.ru/podgotovka-specialistov-yuristov-v-usloviyah-rinochnoj-ekonomiki-blyahman-boris-yakovlevich.html
  • klass.bystrickaya.ru/5-izmeneniya-v-mehanizme-finansirovaniya-predlozhennie-minzdravom-rossii-e-g-potapchik-s-k-salahutdinova.html
  • desk.bystrickaya.ru/osnovnie-kachestvennie-harakteristiki-vipusknaya-kvalifikacionnaya-rabota-strani-severnoj-afriki-v-sisteme-mezhdunarodnoj.html
  • © bystrickaya.ru
    Мобильный рефератник - для мобильных людей.